Jika melihat partisi anda kelihataannya ada 2 partisi jaitu / (root) dan /home. Dalam kasus anda isi /home masih tersisa banyak tetapi root sudah habis.
Anehnya kebanyakan os template mengatur adanya partisi /home tersendiri. Ini yang bikin kacau. Seharusya cukup partisi / (root) saja.
Untuk kasus anda, mau tidak mau anda harus telusuri directory/file yang memakan ruang (tentunya diluar directory /home).
Coba jalankan (untuk melihat 20 file terbesar):
find / -printf '%s %p\n'| sort -nr | head -20